Complex Analysis for physicists (3) - 미분가능성과 조화함수, 디리클레 문제
By of Ruits - 11월 17, 2019
기본적으로 이 포스트에서는 $f : z=(x,\,y)=x+iy \: \rightarrow \: w=(u,v)=u(x,y)+iv(x,y)$와 같은 표기를 사용한다.
미분가능의 정의에 따라 $f(z)$ is differentiable iff $\exists \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}$일 것이다. $\lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}$가 존재하기 위해서는 $\Delta z \to 0$으로 가는 임의의 방향에 대해서 항상 같은 값으로 수렴해야 하고, f(z)의 연속성을 요구한다. 물리학도들이 접하게되는 복소함수라 해봐야 연속성은 자명할 것이므로, 다음의 예시를 보자.
Q 3-1 : prove that $w=f(z)=\bar{z}=x-iy$ is nowhere differentiable.
A 3-1 : along $\Delta y=0$ & $\Delta x=0$
$$\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x+iy_0)-f(x_0+iy_0)}{(x+iy_0)-(x_0+iy_0)} =\cdots= 1$$
$$\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x_0+iy)-f(x_0+iy_0)}{(x_0+iy)-(x_0+iy_0)} =\cdots= -1$$
이 예시처럼 $u(x,y)=x$, $v(x,y)=-y$인 경우는 미분가능한 점$(x,y)$가 존재하지 않았다. 우리는 이렇게 미분가능하지 않거나, 어떤 한 점에서만 미분가능한 함수 등을 잘 다루지 않는다. 일반적으로 어떤 점 $z_0$근방의 모든 점에서 미분계수를 갖는 함수들에 더 흥미가 있고, 이런 함수를 부르는 말이 존재하는데, 바로 다음과 같다.
DEF 3-1 : analytic(해석적)
$f(z)$ is analytic at $z=z_0$ iff $\forall z \in D_\epsilon(z_0), \, \exists f'(z)$
만약 $f(z)$가 전체 복소평면 $\forall z \in \mathbb{C}$에서 analytic이라면, $f(z)$를 entire analytic(전해석적)이라 한다. 어떤 복소함수 $f(z)$가 해석적이라면 대부분 실함수에서 성립하던 성질들이 그대로 성립하게 된다.
THM 3-1 : L'hospital's rule
Suppose $f$ and $g$ are analytic at $z=z_0$, $f(z_0)=0$, $g(z_0)=0$, $g'(z_0) \neq 0$. Then
$$\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)}{g(z)} = \lim_{z \to z_0} \frac{f'(z)}{g'(z)}$$
이것에 대한 증명은 추후에 다루도록 한다. 다시 미분가능성에 초점을 맞춰보자. 미분가능한 복소함수는 어떤 특징을 가지는가? 당연하게도 미분가능하면 real axis를 고정한 극한값과 imaginary axis를 고정한 극한값이 같아야 할 것이다.(충분조건)
먼저 imaginary axis $y$를 fix할 경우,
$$\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x+iy_0)-f(x_0+iy_0)}{(x+iy_0)-(x_0+iy_0)}$$
$$=\lim_{x \to x_0} \frac{u(x,y_0)-u(x_0,y_0)}{x-x_0}+i\lim_{x \to x_0} \frac{v(x,y_0)-v(x_0,y_0)}{x-x_0}$$
real axis $x$를 fix할 경우,
$$\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x_0+iy)-f(x_0+iy_0)}{(x_0+iy)-(x_0+iy_0)}$$
$$=\lim_{y \to y_0} \frac{u(x_0,y)-u(x_0,y_0)}{i(y-y_0)}+i\lim_{y \to y_0} \frac{v(x_0,y)-v(x_0,y_0)}{i(y-y_0)}$$
두 값이 같아야 하므로 식을 정리하면 다음과 같다.
$$\partial_x u(x,y)-\partial_y v(x,y)=0,\:\: \partial_y u(x,y)+\partial_x v(x,y)=0$$
이 충분조건을 가만히 살펴보면 마치 벡터장 $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$에서의 curless, divergence-free와 유사한 성질을 가지고 있다. $\bar{f}(z)=\bar{w}$를 벡터처럼 생각하여 conjugate vector field $\vec{\bar{w}}=u(x,y) \hat{e}_x -v(x,y) \hat{e}_y$에 대한 다음의 조건과 동치이다.
$$\vec{\nabla} \cdot \vec{\bar{w}}=0, \: \: \vec{\nabla} \times \vec{\bar{w}}=\vec{0}\:\:at\:z=z_0$$
이 방정식을 Cauchy-Riemann eq라 한다. 본질적으로 이것이 $i^2=-1$인 조건이 주는 결과인 것이다.
이것을 또 다르게 복소수형식으로 쓴다면, $(x,y) \leftrightarrow (z,\bar{z})$의 변수변환을 통해 $\partial_{\bar{z}}=(\partial_x+i \partial_y)$ 임을 보일 수 있고 $\frac{df}{dz}=\frac{\partial f}{\partial x}=-i\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 이용하면 $\partial_{\bar{z}} f=0$과 동치임을 보일 수 있다. (직접 해 보자.)
$z=x+iy$와 같이 Cartesian으로 쓰겠다면 다음을 만족할 것이고,
$$\partial_x u - \partial_y v=0, \: \: \partial_x v + \partial_y u=0 \:\: at \: z=z_0=x_0+iy_0$$
$z=re^{i\theta}$와 같이 polar form으로 쓰겠다면 다음을 만족할 것이다.
$$\partial_r u - \frac{1}{r} \partial_\theta v = 0, \: \: \partial_r v + \frac{1}{r} \partial_\theta u = 0 \:\: at \: z=z_0=r_0 e^{i\theta_0}$$
우리는 미분가능하면 Cauchy-Riemann eq를 만족함을 보았다. 그렇다면 Cauchy-Riemann을 만족하고, 또 어떤 조건을 만족해야 $z=z_0$에서 미분가능함과 동치가 될 까?
결론부터 말하자면 $u,\:v$의 모든 편도함수가 연속이면 된다. 아래의 정리를 보자.
THM 3-2 : "differentiable" is equivalent to what?
여기서 $i$는 Cartesian의 경우 $x,\:y$에 해당하고 polar의 경우 $r,\:\theta$에 해당한다.
증명은 다소 길어 생략한다. (사실 증명이 별로 궁금하지도 않다.) 이렇게 위의조건을 만족하면 미분값을 구하는건 간단한다. 어떤 경로에서 극한을 취해도 같을 것이므로 그저 임의의 한 방향에 대해서만 미분해도 그만인 것이다. 예를들어, Cartesian에서 x-directional derivative는 $f'(x+iy)=\partial_x u(x,y)+i \partial_x v(x,y)$일 것이고 이 값은 y-directional derivative $i f'(x+iy)=\partial_y u(x,y)+i \partial_y v(x,y)$로 얻은 $f'(x+iy)$와 동일할 것이다. polar에서도 radial-directional derivative는 $e^{i\theta}f'(re^{i\theta})=\partial_r u(r,\theta)+i\partial_\theta v(r,\theta)$이고, angular direction으로는 $ire^{i\theta}f'(re^{i\theta})=\partial_\theta u(r,\theta)+i\partial_\theta v(r,\theta)$이며 둘 모두 같은 $f'(re^{i\theta})$를 얻을 것이다.
THM 3-2를 이용한 응용을 보자. 다음은 $f(z)$의 크기가 일정한 조건이 결국 상수함수라는 결론으로 귀결됨을 보여준다.
Q 3-2 : $f : x+iy \to u+iv$ is analytic on D and $\forall z \in D,\: \left| f(z) \right| =C$ (C : const). Prove $f$ is const on D.
A 3-2 : $u^2+v^2=C^2$을 x, y방향으로 편미분하여 다음의 식을 얻는다.
$v$도 마찬가지일 것이므로 $f$는 상수일 것이다.
$f$가 analytic하면 실함수와 같이 다룰 수 있는 부분이 많을 뿐만 아니라, 후에 다룰 내용에 의하면 $u$와 $v$의 모든 도함수는 연속이다. Cauchy-Riemann에 의하면 $\partial_x u = \partial_y v, \: \partial_y u = -\partial_x v$이므로 각 식을 x, y에 대해 편미분하면 다음이 성립함을 보일 수 있다.
$$\partial_x^2 u + \partial_y^2 u = 0, \partial_x^2 v + \partial_y^2 v = 0$$
이 식을 보는 순간 많은 것이 연상될 것이다. $\vec{\nabla}^2 \phi = 0$와 같이 Laplace eq를 만족하는 $\phi$를 우리는 조화함수(harmonic func)라 하고 이것은 물리학의 다양한 분야에서 등장함을 알 것이다. 가만히 쳐다보자니 조금 의문이 생길 수(도 있고 아니면 말고) 있다. $f$가 D에서 해석적이라면 분명 그 실수부 $u$가 조화함수일 것이다. 그런데 그 조화켤레(harmonic conjugate) $v$가 존재해서 이것 역시 마찬가지로 조화함수라는 것이다.
THM 3-3 : harmonic conjugate
THM 3-4 : 대수학의 기본 정리
해석함수는 실함수에서와 같이 편리한 점이 많다. 바로 위 정리가 성립한다는 것도 그 중 하나가 되겠다. 위 정리들에 대한 증명이 필요한가? 나는 적어도 필요없다.
해석적인 함수 $f(z)=u+iv$는 Cauchy-Riemann을 만족할 것이고 이것을 $\mathbb{R}^2$의 벡터로 보아 다음의 식을 만족함을 알 고 있다.
2차원에서는 어지간해서 우리가 다루게 될 것은 polar 아니면 Cartesian이다. 참된 물리학도들은 전자기학에서 Laplace eq가 그 경계에서 값이 모두 정해지면 유일하게 결정됨을 알 것이다. 다음의 쉬운 예시를 보자.
여담이지만 그냥 꿀팁으로 던져둔다. 이계 미방이므로 두 개의 basis가 확실하게 결정되는데, 만약 $m=0$이라면? 일단 한 basis는 $R_0(r)=const$, $\Theta_0(\theta)=const$임은 자명하다. 그렇다면 나머지 하나의 basis는 어떻게 구할까? 미분방정식에서 한 basis를 알 때 나머지 basis를 찾는법을 배웠을 것이다. 그러나 그 방법을 쓰지 않고 직관적으로 유추해 보자. $R(r)$의 경우 두 basis가 $\{r^{m},r^{-m}\}$인데, 이것들끼리의 독립인 선형결합도 basis를 이룰 것이다. 즉 $\left\{r^m, \frac{r^m-r^{-m}}{2m} \right\} = \left\{ r^m, \frac{e^{m \ln r}-e^{-m\ln r}}{2m} \right\}$도 basis가 될 것이다. 여기서 $m\to0$으로 보내자. 그럼 간단하게${1,\ln r}$이 basis가 되어 $R_0(r)=a+b\ln r$이 된다. $\Theta_m(\theta)$도 basis $\{e^{im\theta},r^{-im\theta} \}$를 독립인 선형결합으로 $\left\{e^{im\theta},\frac{e^{im\theta}-r^{-im\theta}}{2m}\right\}$역시 basis가 된다. $m\to0$으로 보내면 $\{1,\theta\}$가 된다. 즉, 일반적으로
$$R(r)=C_1+C_2 \ln r + \sum_m (a_m r^m + b_m r^{-m}) \\ \Theta(\theta)=K_1+K_2\theta+\sum_m (p_m e^{im\theta}+q_m e^{-im\theta})$$
이를 활용한 간단한 예시를 보자.
이것을 또 다르게 복소수형식으로 쓴다면, $(x,y) \leftrightarrow (z,\bar{z})$의 변수변환을 통해 $\partial_{\bar{z}}=(\partial_x+i \partial_y)$ 임을 보일 수 있고 $\frac{df}{dz}=\frac{\partial f}{\partial x}=-i\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 이용하면 $\partial_{\bar{z}} f=0$과 동치임을 보일 수 있다. (직접 해 보자.)
$z=x+iy$와 같이 Cartesian으로 쓰겠다면 다음을 만족할 것이고,
$$\partial_x u - \partial_y v=0, \: \: \partial_x v + \partial_y u=0 \:\: at \: z=z_0=x_0+iy_0$$
$z=re^{i\theta}$와 같이 polar form으로 쓰겠다면 다음을 만족할 것이다.
$$\partial_r u - \frac{1}{r} \partial_\theta v = 0, \: \: \partial_r v + \frac{1}{r} \partial_\theta u = 0 \:\: at \: z=z_0=r_0 e^{i\theta_0}$$
우리는 미분가능하면 Cauchy-Riemann eq를 만족함을 보았다. 그렇다면 Cauchy-Riemann을 만족하고, 또 어떤 조건을 만족해야 $z=z_0$에서 미분가능함과 동치가 될 까?
결론부터 말하자면 $u,\:v$의 모든 편도함수가 연속이면 된다. 아래의 정리를 보자.
THM 3-2 : "differentiable" is equivalent to what?
$f(z)$ is differentiable at $z=z_0$
$\Leftrightarrow$ $\vec{\nabla} \cdot \vec{\bar{w}}=0, \: \: \vec{\nabla} \times \vec{\bar{w}}=\vec{0}$ and $\partial_i (u,\,v)$ is continuous at $z=z_0$
증명은 다소 길어 생략한다. (
THM 3-2를 이용한 응용을 보자. 다음은 $f(z)$의 크기가 일정한 조건이 결국 상수함수라는 결론으로 귀결됨을 보여준다.
Q 3-2 : $f : x+iy \to u+iv$ is analytic on D and $\forall z \in D,\: \left| f(z) \right| =C$ (C : const). Prove $f$ is const on D.
A 3-2 : $u^2+v^2=C^2$을 x, y방향으로 편미분하여 다음의 식을 얻는다.
$u \partial_x u + v \partial_x v = 0, \: u \partial_y u + v \partial_y v = 0$
변수가 너무 많다. Cauchy-Riemann 조건에 의해 편도함수의 개수를 줄이자.
$u \partial_x u - v \partial_y u = 0, \: v \partial_x u + u \partial_y u = 0$
이 방정식을 풀면 $u$에 대한 $x, \: y$편도함수가 모두 0임을 보일 수 있다.$v$도 마찬가지일 것이므로 $f$는 상수일 것이다.
$f$가 analytic하면 실함수와 같이 다룰 수 있는 부분이 많을 뿐만 아니라, 후에 다룰 내용에 의하면 $u$와 $v$의 모든 도함수는 연속이다. Cauchy-Riemann에 의하면 $\partial_x u = \partial_y v, \: \partial_y u = -\partial_x v$이므로 각 식을 x, y에 대해 편미분하면 다음이 성립함을 보일 수 있다.
$$\partial_x^2 u + \partial_y^2 u = 0, \partial_x^2 v + \partial_y^2 v = 0$$
이 식을 보는 순간 많은 것이 연상될 것이다. $\vec{\nabla}^2 \phi = 0$와 같이 Laplace eq를 만족하는 $\phi$를 우리는 조화함수(harmonic func)라 하고 이것은 물리학의 다양한 분야에서 등장함을 알 것이다. 가만히 쳐다보자니 조금 의문이 생길 수(
THM 3-3 : harmonic conjugate
$u(x,y)$ is harmonic on some $D_\epsilon(x_0,y_0)$. Then $\exists v(x,y) \: s.t. \: f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ is analytic.
THM 3-4 : 대수학의 기본 정리
$\forall f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \: \exists F : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \: s.t. \: F'(z)=f(z)$
해석적인 함수 $f(z)=u+iv$는 Cauchy-Riemann을 만족할 것이고 이것을 $\mathbb{R}^2$의 벡터로 보아 다음의 식을 만족함을 알 고 있다.
$$\vec{\nabla} \cdot \vec{\bar{f}}=0, \: \: \: \: \vec{\nabla} \times \vec{\bar{f}}=\vec{0}$$
$\vec{\bar{f}}$는 curless이므로, $\vec{\nabla} \phi = \vec{\bar{f}}$인 $\phi$가 존재할 것이고 이것 역시 harmonic이므로 THM 3-3에 의해 harmonic conjugate $\psi$가 존재할 것이다. 이것은 마치 보존장에 대한 up to constant가 아닌 두 개의 퍼텐셜을 주는 것 같기도 하고, 혹은 THM 3-4를 보면 복소퍼텐셜을 주는 것 같기도 하다. 방금 나는 분명 틀린말을 했다. 헷갈리지 않도록 하자. harmonic conjugate $\psi$는 Laplace eq를 만족하지만 $\vec{\bar{f}}$의 퍼텐셜이 되지는 않는다.
그렇다면 harmonic conjugate가 가지는 물리적 의미는 대체 무엇이란 말인가? $f(z)$의 원시함수를 $F(z)=\phi+i\psi$라 하면 그 미분은
$$F'(z)=\partial_x \phi + i \partial_x \psi = \partial_y \psi - i \partial_y \phi = f(z) = u+iv$$
Cauchy-Riemann에 의하면 위에서 보존장 $\vec{\bar{f}}$의 퍼텐셜 $\phi$가 $\partial_x \phi = u$ 그리고 $\partial_y \phi = -v$를 만족하므로 $\phi$의 정체는 사실 $f(z)=u+iv$의 원시함수에서의 실수부였던 것이다. 그리고 위 식에 의하면 그 harmonic conjugate $\psi$의 정체도 사실 2차원 보존장 $(v,u)$의 퍼텐셜임과 동시에 $f(z)=u+iv$의 원시함수 허수부임을 알 수 있다. ($(v,u)$가 보존장이 아닌 것 같다고? curl을 취해보자.) 즉,
$$\vec{\nabla} \phi = (u,\,-v), \: \: \vec{\nabla} \psi = (v, u)$$
가 성립하므로 $\vec{\nabla} \phi \cdot \vec{\nabla} \psi = 0$임을 알 수 있다. $\phi=C$가 equi-potential이라면, 이 직교성은 결국 $\psi=C$가 streamline을 나타낸다고 할 수 있다.
2차원에서는 어지간해서 우리가 다루게 될 것은 polar 아니면 Cartesian이다. 참된 물리학도들은 전자기학에서 Laplace eq가 그 경계에서 값이 모두 정해지면 유일하게 결정됨을 알 것이다. 다음의 쉬운 예시를 보자.
Q 3-3 : 수평띠 $a\leq \Re(z) \leq b$에서 harmonic이고, 경계치 $u(a,y)=u_1$과 $u(b,y)=u_2$를 갖는 $u(x,y)$를 찾아라.
A 3-3 : 사실상 일차원 문제와 같으므로 $u(x,y)=u_1+\frac{u_2-u_1}{b-a}(x-a)$이다.
Cartesian에서의 Laplace는 질리도록 많이 풀어봤을 것으로 생각하여 생략하고, 2차원 polar coordinate에서 일반해를 구해보자. del operator는 $\vec{\nabla}=\hat{r} \partial_r+\hat{\theta} \frac{1}{r} \partial_\theta$이다. 뒤에 trial function이 있다고 생각하여 operator의 연산을 수행하자. basis에 대한 각 미분은 $\frac{\partial \hat{r}}{\partial r}=0$, $\frac{\partial \hat{r}}{\partial \theta}=\hat{\theta}$, $\frac{\partial \hat{\theta}}{\partial r}=0$, $\frac{\partial \hat{\theta}}{\partial \theta}=-\hat{r}$ 이다.
$$\nabla^2=\vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}=\left( \hat{r} \partial_r+\frac{1}{r} \hat{\theta} \partial_\theta \right) \cdot \left( \hat{r} \partial_r+ \frac{1}{r} \hat{\theta} \partial_\theta \right)\\=\hat{r}\partial_r \cdot \hat{r} \partial_r + \hat{r}\partial_r \cdot \hat{\theta} \frac{1}{r} \partial_\theta + \hat{\theta} \frac{1}{r} \partial_\theta \cdot \hat{r}\partial_r + \hat{\theta} \frac{1}{r} \partial_\theta \cdot \hat{\theta} \frac{1}{r} \partial_\theta=\partial_r^2+\frac{1}{r}\partial_r+\frac{1}{r^2}\partial_\theta^2$$
Laplace 방정식은 이제 변수분리에 의해 $u=R(r)\Theta(\theta)$라 하면, $\frac{r^2R''(r)+rR'(r)}{R(r)}+\frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)}=0$이다. $\frac{r^2R''(r)+rR'(r)}{R(r)}=m^2$, $\frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)}=-m^2$이라 잡으면 $m\neq0$일 때 $R_m(r)=r^{\pm m}$이고, $\Theta_m(\theta)=e^{\pm im\theta}$이다.
$$R(r)=C_1+C_2 \ln r + \sum_m (a_m r^m + b_m r^{-m}) \\ \Theta(\theta)=K_1+K_2\theta+\sum_m (p_m e^{im\theta}+q_m e^{-im\theta})$$
이를 활용한 간단한 예시를 보자.
Q 3-4 : 부채꼴 $0<\theta<a,\: (a\leq \pi)$에서 harmonic이고, $u(r,\theta=0)=C_1$이며, $u(r,\theta=a)=C_2$인 경계치를 갖는 $u$를 구하라.
A 3-4 : r-dependence가 없고, 위 basis들의 계수를 경계에서 맞춰주면 $u(r,\theta)=C_1+\frac{C_2-C_1}{a}\theta=C_1+\frac{C_2-C_1}{a}Arg(z)$
Q 3-5 : 원환 $1<|z|<R$에서 harmonic이고 $|z|=1$일 때 $u=K_1$, $|z|=R$일 때 $u=K_2$를 만족하는 함수 $u$를 찾아라.
A 3-5 : $\theta$-dependence가 없고, 위 basis들의 계수를 경계에서 맞춰주면 $u(r,\theta)=K_1+\frac{K_2-K_1}{\ln R} r=K_1+\frac{K_2-K_1}{\ln R} |z|$
여기서 잠시 뒤로가기를 눌러 Complex Analysis for physicists (4) - conformal mapping을 보고오자. (https://physvillain.blogspot.com/2019/11/complex-analysis-for-physicists-4.html) 여기서는 해당 글 내용을 숙지하여 등각인 사상은 결국 역변환이 존재하는 좌표변환 $(x,y) \to (u,v)$인 것임을 안다고 가정한다. 다음의 정리가 성립함은 매우 자명하다.
THM 3-5 : invariance of Laplace eq
$\Phi(u,v)$is harmonic on domain $G$ in $w$-plane. Then $(\partial_u^2+\partial_v^2) \Phi=0$. If mapping $w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ ($D$ onto $G$) is conformal, $\phi(x,y)=\Phi(u(x,y),v(x,y))$ is harmonic in D satisfying $(\partial_x^2+\partial_y^2) \phi=0$.
conformal하다는 것은 $f'(z)\neq0$이라는 것이고, 등각사상에서 살펴봤던 것 처럼 좌표변환의 행렬식(Jacobi matrix)의 det가 0이 아니어서 역사상이 존재한다. 간단히 증명해보면
$$\partial_x=\frac{\partial u}{\partial x}\partial_u +\frac{\partial v}{\partial x} \partial_v \\ \partial_y=\frac{\partial u}{\partial y}\partial_u +\frac{\partial v}{\partial y} \partial_v$$
Cauchy-Riemann을 이용하면 간단히 $|J^{uv}_{xy}| (\partial_u^2+\partial_v^2)=(\partial_x^2+\partial_y^2)$를 보일 수 있다. (여기서 $J^{uv}_{xy}$는 $(x,y)$에서 $(u,v)$로 좌표변환할 때의 Jacobi matrix) 다음의 예시를 보자.
Q 3-6 : Show that $\phi(x,y)=Arctan \left( \frac{2x}{x^2-y^2-1}\right)$ is harmonic in unit disk $|z|<1$. (Hint : $f(z)=(i+z)/(i-z)$)
A 3-6 : 먼저 $\Phi(u,v)=Arctan(v/u)$가 어디서 harmonic인지 알아보자. 가만히 쳐다보면 $Arctan(v/u)=Arg(u+iv)$임을 알 수 있다. 우리는 $\Phi(u,v)$에 대한 harmonic conjugate $\Psi(u,v)=\ln|u+iv|$로 잡아서 $W=Ln(w)$의 허수부와 실수부에 각각 대응시킬 수 있다. $Ln(w)$는 $w\neq 0$에서 harmonic이므로 그 허수부인 $\Phi(u,v)$역시 harmonic이다.
그럼 우리는 $u(x,y)=(x^2+y^2-1)g(x,y)$, $v(x,y)=2xg(x,y)$인 적당한 mapping $f(z)$를 찾아서 $|z|<1$에 대응되는 analytic한 영역을 찾으면 된다. THM 4-6(Riemann mapping thm)은 $|z|<1$로 대응시키는 $z=f^{-1}(z)$의 존재성을 암시해준다. 그런데 이러한 mapping을 찾는것은 절대 쉽지가 않다. Hint를 이용하면
$$f(z)=\frac{1-x^2-y^2}{x^2+(y-1)^2}-\frac{i2x}{x^2+(y-1)^2}$$
이 mapping은 $|z|<1$에서 analytic이고 mapping결과는 $\Re(w)>0$이다. 그런데 위에서 $Ln(w)$는 이 영역에서 analytic이므로 이것의 허수부는 $(u,v)$좌표계에서 harmonic이다. THM 3-5에 의해 $\phi(x,y)=Arctan(v(x,y)/u(x,y))=Arctan \frac{2x}{x^2+y^2-1}$는 $|z|<1$에서 harmonic이다.
다음은 discrete Dirichlet problem라고 하는 것의 근본이 되는 예시이다.
Q 3-7 : $u_0 \in \mathbb{R}$, $\Phi(u,v)=\frac{1}{\pi}Arctan \frac{v}{u-u_0}=\frac{1}{\pi} Arg(w-u_0)$이 상반평면 $\Im(w)>0$에서 harmonic이고 경계 위의 값이 $u>u_0$에서 $\Phi=0$이고, $u<u_0$에서 $\Phi=1$임을 보여라.
A 3-7 : $W=Ln(w-u_0)=\ln|w-u_0|+iArg(w-u_0)$는 상반평면에서 analytic이다. 따라서 그 허수부인 $Arg(w-u_0)$은 harmonic이고, 그 상수배인 $\Phi$도 harmonic이다. 양의실수 $a$에 대하여 $Arg(a)=0$, $Arg(-a)=\pi$이므로, $u>u_0$에서 $\Phi=0$이고, $u<u_0$에서 $\Phi=1$이 성립한다.
가만히 보면 이것은 $x>x_0,\: y=0$일때 경계값이 0이고 $x<x_0, \: y=0$일때 경계값이 1인 2차원 라플라스 방정식($\vec{\nabla}^2 \phi(x,y)=0$)의 해이다. $\phi(x,y)=\frac{1}{\pi}\arctan \frac{y}{x-x_0}$ 놀랍지 않은가?
같은 문제를 polar coordinate에서 풀어볼 수 있을 것이다. $\Phi(r,0)=0$, $\Phi(r,\pi)=1$인 경계값을 가지는 Laplace 방정식의 해를 얻은 뒤 Cartesian으로 바꾸고 $x\to x-x_0$을 대입하면(평행이동하면) 된다. 경계값에 맞는 해는 $\Phi(r,\theta)=\theta/\pi$일 것이고 이것을 Cartesian으로 바꾸면 $\phi(x,y)=\arctan(y/x)$이다. 마지막으로 $+x_0$만큼 평행이동하면 같은 답을 얻는다. 흥미롭지 않은가? Dirichlet problem의 놀라움은 여기서 끝이 아니다. THM 3-5에 의해 적당한 conformal mapping을 찾으면 반평면을 적당히 다른 모양의 영역으로 mapping하여 그 좌표계에서의 같은 경계값을 갖는 문제도 마찬가지로 풀 수 있을 것 같지 않은가? 어쩌면 이것이 경계와 경계값이 골치아픈 Laplace eq의 solution을 아주 쉽게 풀 수 있게 해줄 것 같다.
Q 3-7을 여러 개 더해보자. 아래의 정리는 Dirichlet problem으로 알려져 있다.
THM 3-6 : discrete Dirichlet problem
$u_1<u_2<\cdots<u_{N}$은 실수인 상수이다. 함수
$$\Phi(u,v)=a_{N}+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{N}(a_{k-1}-a_k)Arg(w-u_k)=a_{N}+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{N}(a_{k-1}-a_k)Arctan(\frac{v}{u-u_k})$$
는 상반평면 $\Im(w)=v>0$에서 harmonic이고 경계 위에서 $u<u_1$이면 $\Phi(u,0)=a_0$, $u_k<u<u_{k+1}$이면 $\Phi(u,0)=a_k$, $u>u_{N}$이면 $\Phi(u,0)=a_N$이다.
그저 Q 3-7의 결합이라서 딱히 의미는 없지만 증명해보자면 $u_j<u<u_{j+1}$일 때
$$\Phi(u,0)=a_{N}+\sum_{k=1}^{j}0\times(a_{k-1}-a_k)+\sum_{k=j+1}^{N}1\times(a_{k-1}-a_k)\\=a_N+(a_{N-1}-a_N)+(a_{N-2}-a_{N-1})+\cdots+(a_{j}-a_{j+1})=a_j$$
THM 3-5와 THM 3-6을 이용한 예시를 살펴보자.
Q 3-8 : unit disk $|z|<1$에서 harmonic이고 상반원 경계 위에서 0이고 하반원 경계 위에서 1인 함수 $\phi(x,y)$를 찾아라.
A 3-8 : 먼저 w-plane에서 $v=0,\:u<0$ 경계에서 $\Phi(u,v)=1$이고 $v=0,\:u>0$ 경계에서 $\Phi(u,v)=0$인 $\Phi(u,v)$를 찾아보자. THM 3-6에 의해 $\Phi(u,v)=\frac{1}{\pi}Arctan(v/u)$가 이것을 만족한다. 이제 THM 3-5를 활용하기 위해 $v=0,\:u<0$를 하반원에, $v=0,\:u>0$를 상반원에 대응시키는 mapping을 찾아보자. 단위원의 반시계방향으로 $z=-1,\:-i,\:1,\:i$를 상반평면의 반시계방향으로 $|w|\to \infty, w=-1,0,1$에 대응시킨다고 생각해보자. THM 4-4를 이용하면 $w=\frac{i-iz}{1+z}=\frac{2y+i(1-x^2-y^2)}{(x+1)^2+y^2}$를 얻는다. 따라서 $u$와 $v$를 대입하면
$$\phi(x,y)=\frac{1}{\pi}Arctan\frac{v(x,y)}{u(x,y)}=\frac{1}{\pi}\arctan\frac{1-x^2-y^2}{2y}$$
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| graph by Wolfram |
Q 3-9 : 상반원판에서 조화이고 실축경계($-1<x<1$)에서 $\phi(x,y)=1$이고, 상반원경계에서 $\phi(x,y)=0$인 $\phi(x,y)$를 찾아라.
A 3-9 : 마찬가지 $w=\frac{i-iz}{1+z}=\frac{2y+i(1-x^2-y^2)}{(x+1)^2+y^2}$는 실축경계($-1<x<1$)를 $u=0$, $v>0$의 허축 경계로, z-상반원 경계를 $v=0$, $u>0$으로 대응시킨다. 양의 실축에서 0이고 양의 허축에서 1인 조화함수는 Q 3-4에 의해 $\Phi(u,v)=\frac{2}{\pi}Arg(w)$이다. 따라서 $\phi(x,y)=\frac{2}{\pi}Arctan \frac{v(x,y)}{u(x,y)}=\frac{2}{\pi}\arctan \frac{1-x^2-y^2}{2y}$
Q 3-10 : 사분원판 G : $x>0$, $y>0$, $|z|<1$에서 harmonic이고 경계에서 $0\leq x<1$, $y=0$에서 $\phi(x,y)=1$이고, $0\leq y<1$, $x=0$에서 $\phi(x,y)=1$이고, $r=1$, $0<\theta<\pi/2$에서 $\phi(x,y)=0$이다. $\phi(x,y)$를 찾아라.
A 3-10 : 우선 $h=p+iq=z^2=(x^2-y^2)+i(2xy)$을 하면 사분원은 상반원이 되고, h-plane에서 경계조건은 Q 3-9와 같으므로 해는 $\psi(p,q)=\frac{2}{\pi}\arctan \frac{1-p^2-q^2}{2q}$이고, $p=x^2-y^2$, $q=2xy$를 대입하여
$$\phi(x,y)=\frac{2}{\pi}\arctan \frac{1-(x^2+y^2)^2}{4xy}$$
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| graph by Wolfram |
discrete Dirichlet problem은 실축에 대응하는 함수가 마치 계단 형식처럼 조각 조각(piecewise) 상수(constant)인 경계값에 대한 상반평면 라플라스 방정식의 해를 설명해준다. 근데 연속함수도 piecewise constant인 함수들의 극한으로 나타낼 수 있지 않은가? (아니지만, 적어도 근사해질 것이다.) 우리는 이제 discrete한 Dirichlet problem에서 continuous한 경계함수에 까지 확장을 시도할 것이다. 지금부터 continuous하게 만드는 과정은 수학적으로 엄밀하지 않다. (엄밀하게는 조각 범위 내 한 점을 아무렇게나 잡고 Riemann적분을 하면 된다.) 대충 물리학도 스러운 감성으로 확장해볼 것인데 THM 3-6을 다시 써보자. 실수축 경계값 $U(t)$는 picewise continuous(유한개의 점에서 불연속이라 생각)인 실함수이다.
$t_1<t_2<\cdots<t_{N-1}<t_N$은 (대략 균일하게 퍼진)실수인 상수이다. 충분히 큰 N에 대하여 경계값 대신 $a_i \simeq U(t_i)$를 집어넣을 수 있으므로,
$$\phi(x,y) \simeq U(t_N)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{N}(U(t_{k-1})-U(t_k)) \arctan\frac{y}{x-t_k}$$
는 상반평면 $Im(w)=v>0$에서 harmonic이고 경계 위에서 $x<t_1$이면 $\phi(x,0) \simeq U(-\infty)=U(t_0)$, $t_k<x<t_{k+1}$이면 $\phi(x,0)\simeq U(t_k)$, $x>t_N$이면 $\phi(x,0)\simeq U(t_N)$이다. $\arctan\frac{t_k-x}{y}=\theta_k$라 하면
$$\phi(x,y)\simeq U(t_N)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{N}(U(t_{k-1})-U(t_k))\left( \frac{\pi}{2} + \theta_k \right)\\=U(t_N)+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N}\left(U(t_{k-1})-U(t_k)\right)-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N}\left(U(t_{k})-U(t_{k-1})\right)\theta_k \\= \frac{1}{2} (U(t_0)+U(t_N))-\frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^{N} \frac{\Delta U_k}{\Delta t} \theta_k \Delta t \\ \simeq \frac{1}{2} (U(t_0)+U(t_N))-\frac{1}{\pi} \int_{t_0}^{t_N} \frac{dU(t)}{dt} \theta(t) dt$$
$\arctan\frac{t_k-x}{y}=\theta_k$ 이므로 $\arctan\frac{t-x}{y}=\theta$이고, 미소량 $d\theta=\frac{y}{(t-x)^2+y^2}dt$이다. 위의 식에서 integral by parts를 통해
$$-\frac{1}{\pi}\int_{t_0}^{t_N} \frac{dU(t)}{dt} \theta(t) dt=-\frac{1}{\pi} \left[ U(t) \theta(t) \right]_{t=t_0}^{t=t_N}+\frac{1}{\pi} \int_{t_0}^{t_N} \frac{yU(t)}{(x-t)^2+y^2} dt\\=-\frac{U(t_N)+U(t_0)}{2}+\frac{y}{\pi}\int_{t_0}^{t_N}\frac{U(t)dt}{(x-t)^2+y^2}$$
원래의 식에다 대입하면 첫 항이 소거되고
$$\phi(x,y) \simeq \frac{y}{\pi} \int_{t_0}^{t_N}\frac{U(t)dt}{(x-t)^2+y^2}$$
마지막으로 $N\to \infty$, $t_0=-\infty$, $t_N=\infty$의 극한을 통해
$$\phi(x,y) =\frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{U(t)dt}{(x-t)^2+y^2}$$
이로써 아래의 정리가 (대충) 증명되었다.
THM 3-7 : Poisson integral formula
$U(t)$ is piecewise continuous & bounded for all $\mathbb{R}$ (thus, Riemann integrable). Then the function $\phi(x,y)=\frac{y}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{U(t)dt}{(x-t)^2+y^2}$ is harmonic on upper half plane ($y>0$) and satisfies $\phi(x,0)=U(x)$.
디리클레 문제의 조금 어려운 예시를 소개하겠다. 아래의 포스트에서는 capacitor의 edge에서 전위분포를 구하는 것이다. 등각사상에 대한 개념을 숙지한 뒤 참고하도록 하자.
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