THM 1-1 : Triangular inequality
$\forall z_k \in \mathbb{C},\:\:\left| \sum_k z_k \right| \leq \sum_k \left| z_k \right|$
당연하게도 위와같은 삼각부등식도 성립할 것이다. 이것은 $i^2=-1$이라는 사실과 관계없이 임의의 $\mathbb{R}^{2}$ 벡터장에 대해 성립한다. 이것을 이용한 간단한 예제를 보자.
Q 1-1 : Cauchy-Schwarz ineq in Complex
A 1-1 : 실수에서 Cauchy-Schwarz ineq에 의해 다음이 성립한다.
DEF 1-1 : arg(z), Arg(z), principal rep
Q 1-1 : Cauchy-Schwarz ineq in Complex
prove $\left| \sum_k z_k \bar{w_k} \right|^2 \leq \left( \sum_k \left| z_k \right|^2 \right) \left( \sum_k \left| w_k \right|^2 \right)$
A 1-1 : 실수에서 Cauchy-Schwarz ineq에 의해 다음이 성립한다.
$\left( \sum_k \left| z_k \right|^2 \right) \left( \sum_k \left| w_k \right|^2 \right) \geq \left( \sum_k \left| z_k \right| \left| w_k \right| \right)^2$
$\left| z \right|$는 $z$의 radial component이므로 $\left| x_k \right| \left| w_k \right| = \left| x_k \bar{w_k} \right|$가 성립한다.
또, triangular ineq(THM 1)에 의해 $\sum_k \left| x_k \bar{w_k} \right| \geq \left| \sum_k z_k \bar{w_k} \right|$이 성립하므로 증명 끝.
$\left| z \right|$는 $z$의 radial component이므로 $\left| x_k \right| \left| w_k \right| = \left| x_k \bar{w_k} \right|$가 성립한다.
또, triangular ineq(THM 1)에 의해 $\sum_k \left| x_k \bar{w_k} \right| \geq \left| \sum_k z_k \bar{w_k} \right|$이 성립하므로 증명 끝.
$\mathbb{R}^{2}$에서 Cartesian rep $z=(x,\,y)=x+iy$ 뿐만 아니라 polar rep $z=(r,\,\theta)=re^{i\theta}$로 표현할 수 있다. 이 경우 역시 두 representation의 변수변환 관계도 $\mathbb{R}^{2}$에서의 변환관계와 일치한다.
angular component $\theta$는 $\theta \rightarrow \theta+2n\pi$를 해도 불변이므로, 편각(argument)을 집합의 꼴로 정의하며, 주 편각(principal argument)를 $(-\pi,\,\pi]$에 속한 편각의 원소로 정의한다. 편각의 성분을 출력하는 함수(arcsin, log 등)는 각성분이 $(-\pi,\,\pi]$에 있을 경우 첫 글자를 대문자로 표기하는 것을(Arcsin, Log 등) principal representation (혹은 principal value)이라 한다.
DEF 1-1 : arg(z), Arg(z), principal rep
$arg(z)=\{ \theta \, | \, z=r\left( \cos{\theta} + i\sin{\theta} \right) \}$
if $\theta \in (-\pi, \, \pi], \,\, \theta=Arg(z)$
multi-valued function containing angular component in $(-\pi, \, \pi]$ is called 'principal representation'
당연하게도 $z_j=r_je^{i\theta_j}, j\in\mathbb{N}$에 대하여 집합으로써 $arg(z_1z_2 \cdots z_j)=arg(z_1)+\cdots+arg(z_j)$가 성립한다.
실수에서와 같이 지수법칙이 '대부분 똑같이' 성립함이 알려져 있는데(예외 있음, 뒤에서 다룰 예정) $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\left( e^{i\theta} \right)^n=e^{in\theta}$라고 두면 다음을 얻는다.
THM 1-2 : De Moivre's formula
$\left( \cos{\theta}+i\sin{\theta} \right)^n=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta},\:n\in\mathbb{N}$
$1=e^{i0}=e^{i2n\pi}$이므로 $z^n=1$을 만족하는 1의 n승 근을 단위원 $C_1(0)$상에 놓인 간격이 동일한 점들이고, n변의 정다각형 꼭지점을 형성하는 것으로 정의할 수 있다.
DEF 1-2 : primitive root of unity
let $w_n=e^{i2\pi/n}=\cos{\frac{2\pi}{n}}+i\sin{\frac{2pi}{n}}$.
$z^n=1 \: \Leftrightarrow \: z^{\frac{1}{n}}=\{w_n^0,\,w_n^1,\,w_n^2,\,\cdots,\,w_n^{n-1}\}$
만약 $z^n=re^{i\theta}$의 해집합을 구한다면, n개의 서로다른 근들이 다음과 같이 주어질 것이다.
$z_k=\rho^{\frac{1}{n}}e^{i\frac{\phi+2k\pi}{n}}, \: (k=0,\,1,\,\cdots,\,n-1)$
복소체에서의 근의공식 역시 2승 근을 통해 정의할 수 있다.
THM 1-3 : 근의 공식
if $az^2+bz+c=0$, then solution set is
$$\left\{ \frac{-b+\left(b^2-4ac \right)^\frac{1}{2}}{2a} \right\}$$
(기본함수들 추가예정)
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