이번에는 복소평면상의 점들과 관련된 기본적인 위상적 개념을 살펴보자. 가장먼저 매개변수화된(parameterized) 복소함수 $z(t)$의 구간 $t\in(a,\,b)$의 치역으로 곡선(curve)를 정의할 것이다.
DEF 2-1 : curve (closed, smooth, simple)
C : $z(t)=(x(t),\,y(t))=x(t)+iy(t), \:\: (a \leq t \leq b)$
$C_R^{+}(z_0)=\{z\,|\,z(t)=z_0+Re^{it},\:t\in[0,\,2\pi]\}$
위와같은 C는 initial pt $t=a$와 final pt $t=b$와 같이 방향성이 정해져 있다. 같은 curve지만 방향이 반대이면 -C로 표시하여 방향을 제시한다. 또한 $z(a)=z(b)$라면 C가 닫혀있다(closed)라고 하고, $\frac{dx}{dt},\:\frac{dy}{dt}$가 존재하면 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt},\: \left(\frac{dx}{dt}\neq0\right)$가 존재하기 때문에 첨점이 없고 매끄럽다(smooth)고 말한다. 또, 곡선 C가 시작점과 끝점을 제외하고 교차되지 않으면 단순(simple)이라 한다.
closed curve 중에서도 특히 $(x,\,y)$plane에서 중심이 $z_0$이고 반지름 $R$인 원을 $C_R(z_0)$이라 하고 방향이 반시계방향이면(positively oriented) $C_R^{+}(z_0)$으로 표기하며, 시계방향이면(negatively oriented) $C_R^{-}(z_0)$으로 표기한다. 즉 $-C_R^{+}(z_0)=C_R^{-}(z_0)$이다.
평면상의 점집합 설명을 돕기위해 아래의 것들을 추가로 정의하자. 여기서는 꼭 필요한 위상적 개념만을 소개한다.
DEF 2-2 : neighborhood
$D_\epsilon(z_0) = \{z\,|\,\left|z-z_0\right|<\epsilon\}$ (open neighborhood)
$\bar{D}_\epsilon(z_0) = \{z\,|\,\left|z-z_0\right| \leq \epsilon\}$ (closed neighborhood)
$D_\epsilon^{*}(z_0) = D_\epsilon(z_0)-\{z_0\}$ (punctured neighborhood)
DEF 2-3 : interior(내점) / exterior(외점) / boundary(경계점) / accumulation pts(집적점)
$z_0$ is interior pt of S iff $\exists D_\epsilon(z_0) \subset S$ ($int(A)$ : set of all interior pts)
$z_0$ is exterior pt of S iff $\exists D_\epsilon(z_0) \subset S^C$ ($ext(A)$ : set of all exterior pts)
$z_0$ is boundary pt of S iff neither interior nor exterior ($\partial A$ : set of all exterior pts)
$z_0$ is accumulation pt of S iff $\forall \epsilon>0,\,D_\epsilon^{*}(z_0) \cap S \neq \phi$ ($cl(A)$ : set of all acc pts)
DEF 2-4 : open / closed
$A$ is closed $\Leftrightarrow \: cl(A) \subset A \: \Leftrightarrow \: \partial(A) \subset A$
$A$ is open $\Leftrightarrow \: int(A) = A \: \Leftrightarrow \: \forall a \in A, \, \exists D_\epsilon(a) \in A$
$S$ is connected iff $\forall (z_1,\,z_2) \in S^2,\, \exists C$ from $z_1$ to $z_2$
DEF 2-6 : domain(정역)
$S$ is domain iff $S$ is connected & open
$S$ is bounded iff $\exists \bar{D}_\epsilon(z)$ s.t. $S \in \bar{D}_\epsilon(z)$
THM 2-1 : Jordan curve thm
임의의 단순 폐곡선 $C$의 여집합이 두 개가 서로 포함되지 않는 정역(domain), 다음 조건을 만족하는 $I$와 $E$로 분리될 수 있다.
$I$ : bounded, interior, $E$ : not bounded, exterior
이 때 $C$는 $I$와 $E$ 둘 다의 경계이며, $I \cup E \cup C = \mathbb{C}$가 성립한다.
Jordan curve thm은 명백해 보이나 그 증명은 매우 어려워 생략한다. 그리고 이것이 복소해석을 이해하는데 직접적으로 필요한 것은 아니므로 생략해도 좋다.
다음으로 기본적인 수열과 급수에 관해 살펴보자. 대부분 실해석의 것과 비슷하니 느낌적으로 받아들일 수 있다면 생략해도 좋다.
DEF 2-8 : series limit
$\lim_{n \to \infty} z_n = \chi$ $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon >0, \: \exists N_\epsilon \in \mathbb{N} \: s.t. \: if \: n>N_\epsilon, \: then \: z_n \in D_\epsilon(\chi)$
전혀 새로울 것이 없다. bounded 정의에 따라 $\{ z_n \}$이 모든 $n>N$에 대해 $z_n \in D_R(0)$이 성립한다면, 즉 $\left| z_n \right| < R$이면 bounded라 하자. 그럼 극한의 정의에 따라 수렴하면 유계일 것이다.(당연한 소리!)
DEF 2-9 : Cauchy-series
$\forall \epsilon >0, \exists N_\epsilon \in \mathbb{N} \: s.t. \: if \: m, n > N_\epsilon, \: then \: z_n-z_m \in D_\epsilon(0)$
THM 2-2 : convergent series $\Rightarrow$ Cauchy series
$\forall \epsilon>0,\: \exists N \: s.t. \: n,m>N \Rightarrow \left| z_n-\chi \right| < \epsilon/2, \left| z_m-\chi \right| < \epsilon/2$
$\left|z_n-z_m \right| \leq \left|z_n-\chi \right| + \left|z_m-\chi \right| < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$
사실 복소수열 $\{z_n\}$은 $\mathbb{R}^2$에서의 수열과 같다. $\mathbb{R}^n$에서는 대부분 코시수열은 수렴하고 수렴하면 코시수열인데, THM 2-2의 역을 보이는 과정이 필요하다면 아래를 참고하자.
THM 2-3 : "real" Cauchy-series $\Rightarrow$ bounded
$\forall \epsilon>0, \: \exists N \: s.t. \: m,n>N \Rightarrow \left|x_n-x_m\right|<\epsilon$
$\left|x_n-x_m\right|<\epsilon \: \Leftrightarrow \: x_m-\epsilon<x_n<x_m+\epsilon$
$m=N+1$이라 두면, $x_{N+1}-\epsilon<x_n<x_{N+1}+\epsilon$
take $m=\min \{x_1,x_2,\cdots,x_N,x_{N+1}-\epsilon \}, \: M=\max \{x_1,x_2,\cdots,x_N,x_{N+1}+\epsilon \}$
then $m \leq x_n \leq M$
THM 2-4 :
$z_n=x_n+iy_n$이고 $\chi=u+iv$라 하면,
$$\lim_{n \to \infty} z_n = \chi \: \Leftrightarrow \: \lim_{n \to \infty} x_n = u, \: \lim_{n \to \infty} y_n = v$$
($\rightarrow$) : $n>N_\epsilon \: \Rightarrow \: \left|Re(z-\chi) \right| = \left|x_n-u \right| \leq \left|z_n-\chi \right| < \epsilon$
$y_n$도 마찬가지로 성립함을 보일 수 있음.
($\leftarrow$) : $n>N_\epsilon \: \Rightarrow \: \left| x_n-u \right| < \epsilon/2, \:\: n>M_\epsilon \: \Rightarrow \: \left| y_n-v \right| < \epsilon/2$
$\left| z_n-\chi \right| = \left| x_n-u+i(y_n-v) \right| \leq \left| x_n-u \right| + \left| y_n-v \right| < \epsilon/2 + \epsilon/2 =\epsilon$
THM 2-5 : Cauchy series $\Rightarrow$ convergent
$z_n=x_n+iy_n$으로 두자. $z_n$이 코시수열이면 $x_n,\: y_n$도 코시수열임을 쉽게 보일 수 있다. 근데 실수 코시수열은 수렴하므로 THM 2-5가 증명되고 THM 2-3과 함께 동치관계가 성립한다.
이제 급수로 넘어가서 Calculus에서 배웠던 내용을 떠올려보자.
DEF 2-10 : 급수 수렴
$$\sum_{k=1}^{\infty} z_k=S \: \Leftrightarrow \: S=\lim_{n\to \infty}S_n$$
$\sum_1^{\infty} \left| z_k \right|$가 수렴하면 절대수렴(absolute convergence)이라고 한다. 또한 triangular ineq를 이용하면 절대수렴이 수렴을 보장함을 확인할 수 있다.
THM 2-6 :
$z_n=x_n+iy_n$이고 $S=U+iV$라 하면, $S=\sum_1^{\infty} z_n \: \Leftrightarrow \: U=\sum_1^{\infty}x_n, \: V=\sum_1^{\infty}y_n$
THM 2-4에 의해 쉽게 증명됨
THM 2-7 : $\sum_{k=1}^{\infty} z_k$ convergent $\Rightarrow \: \lim_{n \to \infty} z_n =0$
$\lim_{n \to \infty} z_n \neq 0$이라고 가정하면 모순됨.
DEF 2-11 : Cauchy-product
$\sum a_n, \: \sum b_n$ : convergent
Cauchy product : $\sum_0^{\infty} c_n$, where $c_n=\sum_0^n a_k b_{n-k}$
THM 2-8 :
if Cauchy product converges, then $\sum_0^{\infty} c_n=\left( \sum_0^{\infty} a_n \right) \left( \sum_0^{\infty} b_n \right)$
$$\left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \right) \left( \sum_{m=0}^{\infty} b_m \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} a_n b_m = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{l} a_{l-k} b_k = \sum_{l=0}^{\infty} c_l$$
아래는 급수 수렴성을 따지기 위한 방법들이다. (증명이 필요한가?)
THM 2-9 : comparison test
$\sum_{1}^{\infty} M_n$ : real convergent series. $\forall n \in \mathbb{N}, \: \left| z_n \right| \leq M_n \: \Rightarrow \: \sum_{1}^{\infty} z_n$ converges.
THM 2-10 : ratio test
$$\lim_{n\to\infty} \frac{\left| z_{n+1} \right|}{\left| z_n \right|} = L$$
$L<1$ : absolutely convergent, $L>1$ : divergent
상극한을 다음과 같이 정의하자.
DEF 2-12 : limit superior (roughly)
$\{t_n\}$ : $\mathbb{R}^+$ series, $L+\epsilon<t_n$인 n이 유한하게 되는 가장 작은 L을 택하여
$$\lim_{n \to \infty} \sup t_n = L$$
THM 2-11 : root test
$$\lim_{n \to \infty} \sup \left| z_n \right|^{\frac{1}{n}} = L$$
$L<1$ : absolutely convergent, $L>1$ : divergent
이제 power series의 수렴성에 대해 떠올려보자. 이것 역시 실수에서 약간의 확장밖에 되지않는다.
THM 2-12 : power series / radius of convergence $\rho$
$f(z)=\sum_0^{\infty}c_n(z-\alpha)^n$이 수렴하는 점 z의 집합은 다음 중 하나이다.
(1) only a point $z=\alpha$ ($\rho=0$)
(2) $D_\rho(\alpha)$와 $C_\rho(\alpha)$의 일부(혹은 전부 혹은 none of'em) ($0<\rho<\infty$)
(3) $\mathbb{C}$ 전체 ($\rho=\infty$)
THM 2-11에 의해 $\lim \sup \left| c_n (z-\alpha)^n \right|^\frac{1}{n}<1$인 값에서 절대수렴할 것이다. 즉, $\left| z-\alpha \right| \lim \sup \left| c_n \right|^\frac{1}{n}<1$
만약 $\lim \sup \left| c_n \right|^\frac{1}{n}=\infty$라면 $z=\alpha$의 한 점에서만 수렴할 것이고(1), $0<\lim \sup \left| c_n \right|^\frac{1}{n}<\infty$라면, $\rho=\frac{1}{\lim \sup \left| c_n \right|^\frac{1}{n}}$일 것이고(2), $\lim \sup \left| c_n \right|^\frac{1}{n}=0$이면 전체 복소평면에서 절대수렴이다.(3)
사실 수렴반경 $\rho$는 아래 3가지 test중 어느 것을 사용해도 된다.
$$(1)\: \rho=\frac{1}{\lim \sup \left| c_n \right|^\frac{1}{n}} \:\:\:\: (2) \: \rho=\frac{1}{\lim \left| c_n \right|^\frac{1}{n}} \:\:\:\: (3) \: \rho=\frac{1}{\lim \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|}$$
예를들어 $4z+(5z)^2+(4z)^3+(5z)^4+\cdots$의 경우 $\{ \left| c_n \right|^\frac{1}{n} \}=\{4,5,4,5,\cdots \}$이므로 $\lim \sup {\left| c_n \right| ^{\frac{1}{n}}}=5$이고 수렴반경은 1/5이 된다.
다음으로 전반부의 결론(?)과도 같은 정리이다.
THM 2-13 :
$f(z)=\sum_0^{\infty}c_n(z-\alpha)^n$가 수렴반경 $\rho>0$를 갖는다면, 다음이 성립한다.
(1) $f$ is infinitely differentiable on $z\in D_\rho(\alpha)$
(2) $f^{(k)}(z)=\sum_0^{\infty} n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)c_n(z-\alpha)^{n-k}$
(3) $c_k = f^{(k)}(\alpha)/k!$
직관적으로 그럴듯 해 보이고(그렇지 않은게 더 바람직하겠지만) 실수에서도 성립하던 내용이라 별로 새롭게 느껴지지는 않을 것이므로 증명은 꽤나 길어 생략한다. (사실 관심도 없다.)
DEF 2-13 : uniform convergence
평등수렴하지 않는 가장 좋은 예시로 geometric series가 있다. $S_n(z)=\sum_0^{n-1} z^k $가 $f(z)=1/(1-z)$에 수렴하지만 평등수렴하지는 않는다. 실수범위에서 생각했을 때, 위의 평등수렴 조건을 만족시켰을 때 $f(x)-\epsilon < S_n(x)<f(x)+\epsilon$이고 $n$이 충분히 크다면 주어진 $\epsilon>0$과 구간 $(-1,1)$ 안의 모든 $x$에 대해서 $S_n(x)$는 $f(x)$의 $\epsilon$ 띠 안에 있게 될 것이다. 그러나$n$이 아무리 커도 $S_n(x)$가 이 띠의 외부에 놓이게 하는 $x$가 존재한다. 따라서 평등수렴하지 않는다. 다음은 평등수렴하지 않음을 증명하기 위해 쓰이는 (그냥 위 정의의 부정에 불과한) 명제를 소개하자면 다음과 같다.
평등수렴을 판정하는 방법으로 Weierstrass M test라는 것이 존재한다.
THM 2-14 : Weierstrass M-test
증명은 다소 간단하니 생략하겠다. 다음은 이것을 응용한 몇가지 예시이다. (역시 증명은 생략한다.)
THM 2-15 :
THM 2-16 :
다음의 정리는 평등수렴하는 수열에 대한 중요한 성질들을 제공한다.
THM 2-17 :
이제 본격적으로 복소함수를 탐구하기 위한 준비가 끝난 셈이다. 5번째 포스트에서 우리는 본격적으로 이 개념들을 활용할 것이다. 본 포스트는 언제까지나 복소적분을 수행하기위한 준비에 불과하다.
DEF 2-13 : uniform convergence
$\forall \epsilon >0$ and $\forall z \in T$, $\exists N_\epsilon$ s.t. if $n\geq N_\epsilon$ then $|S_n(z)-f(z)|<\epsilon$.
평등수렴하지 않는 가장 좋은 예시로 geometric series가 있다. $S_n(z)=\sum_0^{n-1} z^k $가 $f(z)=1/(1-z)$에 수렴하지만 평등수렴하지는 않는다. 실수범위에서 생각했을 때, 위의 평등수렴 조건을 만족시켰을 때 $f(x)-\epsilon < S_n(x)<f(x)+\epsilon$이고 $n$이 충분히 크다면 주어진 $\epsilon>0$과 구간 $(-1,1)$ 안의 모든 $x$에 대해서 $S_n(x)$는 $f(x)$의 $\epsilon$ 띠 안에 있게 될 것이다. 그러나$n$이 아무리 커도 $S_n(x)$가 이 띠의 외부에 놓이게 하는 $x$가 존재한다. 따라서 평등수렴하지 않는다. 다음은 평등수렴하지 않음을 증명하기 위해 쓰이는 (그냥 위 정의의 부정에 불과한) 명제를 소개하자면 다음과 같다.
$\forall N \in \mathbb{N}$, $\exists n\geq M$ and $\exists \epsilon>0$ s.t. $|S_n(z_0)-f(z_0)| \geq \epsilon$ for some $z_0 \in T$.
평등수렴을 판정하는 방법으로 Weierstrass M test라는 것이 존재한다.
THM 2-14 : Weierstrass M-test
$\sum_{k=0}^{\infty} u_k(z)$이 각 $k$와 모든 $z\in T$에 대하여 $|u_k(z)|\leq M_k$라 하자. $\sum_{k=0}^{\infty} M_k$가 수렴하면, $\sum_{k=0}^{\infty} u_k(z)$는 T에서 평등수렴한다.
THM 2-15 :
$\sum_{k=0}^{\infty} c_k(z-a)^k$가 radius of conv $\rho>0$를 가진다면, $0<r<\rho$에 대하여 해당 급수는 $\bar{D}_r(a)$에서 평등수렴한다.
THM 2-16 :
$0<r<1$에 대하여 geometric series는 $\bar{D}_r (0)$위에서 평등수렴한다.
다음의 정리는 평등수렴하는 수열에 대한 중요한 성질들을 제공한다.
THM 2-17 :
${S_k}$가 경로 $C$를 포함한 집합 $T$에서 정의된 연속함수열이고, ${S_k}$가 T에서 $f$로 평등수렴한다면 $f$는 T$에서 연속이고,
$$\lim_{k\to\infty} \int_C S_k(z) dz = \int_C \lim_{k\to\infty} S_k(z) dz = \int_C f(z)dz$$
이제 본격적으로 복소함수를 탐구하기 위한 준비가 끝난 셈이다. 5번째 포스트에서 우리는 본격적으로 이 개념들을 활용할 것이다. 본 포스트는 언제까지나 복소적분을 수행하기위한 준비에 불과하다.
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